critère de Kelly

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Comment appliquer la célèbre formule de gestion du cash et de la taille des paris dans le trading et les paris.

Les parieurs et les commerçants doivent avoir une compréhension intime des critères de Kelly.

La formule, développée en 1956 par le scientifique des Bell Labs, John Kelly, utilise la théorie de l’information pour calculer combien parier ou investir pour maximiser la richesse à long terme.

Mais le critère est souvent mal compris et son utilisation abusive conduit à la ruine de nombreux commerçants potentiels. Leur richesse monte en flèche puis s’effondre à zéro parce qu’ils ne comprennent pas que la ligne entre la défaite et le gain à long terme est écrite dans le langage des mathématiques.

Deux clés permettent de réussir dans le jeu professionnel et le trading sérieux :

Identification des opportunités rentables. Paris de taille correcte. Le numéro 1 est la partie facile. Le chiffre 2 sépare les professionnels des amateurs.

Michael W. Covel, le trader de « tortue » qui suit les tendances, l’a exprimé ainsi : le bon trading, c’est 90 % d’argent et de gestion de portefeuille.

Un marchand avec un médiocre stratégie et un excellent modèle pour le risque et la taille des paris sera assez réussi. Un trader avec une bonne stratégie et un modèle de risque médiocre fera faillite.

Les exemples abondent. Pensez à un joueur de blackjack décidant du pourcentage de sa bankroll à miser sur une main donnée, à un investisseur immobilier déterminant la part de son portefeuille à consacrer à une nouvelle propriété, ou à un trader de crypto-monnaie décidant de l’effet de levier à appliquer à une nouvelle stratégie.

Valeur attendue

Imaginez une opportunité de pari qui offre une valeur attendue (EV) positive avec des cotes et des paiements connus. Un joueur de blackjack, par exemple, sait que le compte courant et le compte réel impliquent une probabilité de gagner/perdre pour la prochaine main de 52% contre 48%.

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52 % de chances de gagner semblent attrayantes, mais quelle part de la valeur nette totale du joueur devriez-vous miser dessus ?

Décider cela nécessite d’équilibrer les forces concurrentes de parier davantage pour obtenir des profits plus élevés et de parier moins pour limiter la possibilité de faillite.

Quelque part entre ces extrêmes, il existe un ratio optimal de bankroll total à parier de telle sorte que la richesse à long terme soit maximisée.

Questions de taille

Une simple expérience peut tester ce qui se passe lorsqu’un joueur de cartes fait des paris de différentes tailles sur plus de 1000 mains de blackjack.

Dans un exemple, le joueur mise 1% de sa bankroll sur chaque main, traçant l’évolution de sa valeur nette sur 1000 mains simulées. La stratégie se comporte bien dans le temps, avec une certaine volatilité.

Après 1000 mains, le joueur a augmenté sa richesse de 44% (voir la ligne Pari 1% sous “Plus d’une mise”, ci-dessus).

Mais que se passe-t-il si un joueur risque une plus grande proportion de sa valeur nette sur chaque pari ? Le graphique ci-dessus montre vos gains au fil du temps avec des tailles de mise de 1%, 2% et 4% de la valeur nette par main.

Il n’est pas étonnant qu’au fur et à mesure que la taille de la mise augmente, le gain et la variance de la valeur nette du joueur augmentent également. Les gains accumulés augmentent régulièrement à mesure que la taille de la mise augmente de 1 % à 4 %.

Cependant, avec des enjeux plus importants, quelque chose de contre-intuitif se glisse dans la simulation. Prenez, par exemple, les paris suivants : 1 %, 2 %, 4 %, 8 %, 15 % et 25 %.

Les paris de 8% peuvent ralentir la croissance de la bankroll du joueur. Des paris de 15 % ou 25 % peuvent mener à la faillite.

En fait, un joueur qui joue trop perd de l’argent sur des paris gagnants. L’augmentation des paris augmente continuellement la variation de votre valeur nette, mais au-delà d’un certain point, les gains culminent et s’inversent ensuite.

Mais pourquoi faire plus de bonnes choses mènerait-il à un pire résultat à long terme ?

Traînée géométrique négative

Pour comprendre cette hausse et cette baisse des rendements, imaginez une opportunité de jeu particulièrement intéressante : un pari de cotes 50/50 et un gain de 2 : 1 (2 $ gagnés pour 1 $ de pari).

Il s’agit clairement d’une opportunité rentable, mais combien un joueur devrait-il investir à chaque tour de pari ?

Pariez sur un tirage au sort

Dans le premier exemple, 1 000 tours d’enchères ont été simulés.

Cette fois, une approche plus mathématique peut aider. Étant donné que le pari est gagnant ou perdant avec la même probabilité (50/50), un tour d’enchères moyen produit le même nombre de gains et de pertes. Le modèle de pari le plus simple serait une victoire et une perte, et l’ordre n’a pas d’importance.

Au fur et à mesure que la taille du pari augmente (colonne de gauche dans “Comment parier un tirage au sort”, à gauche), la taille des gains et des pertes augmente également. Le bénéfice total (colonne de droite) augmente avec la taille du pari, mais se stabilise et diminue ensuite.

Une mise de 40% par tour est aussi rentable que 10% par tour. Cependant, 60% perdent de l’argent en moyenne. Mais pourquoi?

Les pertes sont dues à la résistance géométrique négative (NGD).

Ce frein sur les bénéfices du portefeuille résulte arithmétiquement du gain et de la perte de la même proportion de valeur. Un gain de X% suivi d’une perte de X% (ou une perte suivie d’un gain du même montant) se traduit toujours par une perte nette.

Une perte de 10 % sur un investissement suivie d’un gain de 10 % donne 0,99 de l’investissement initial (0,90 x 1,10 = 0,99) ou une perte nette de 1 %. Faire un profit de 20 % puis perdre 20 % se traduit par une perte de 4 % par rapport au point de départ (1,20 x 0,8 = 0,96). La résistance au retour sur investissement est le carré du profit ou de la perte.

Bord + NGD = bénéfice

À mesure que l’effet de levier augmente, l’avantage d’un pari augmente linéairement avec le montant de l’effet de levier, mais le NGD augmente comme le carré de l’effet de levier.

À des niveaux d’effet de levier inférieurs, le bord est la force dominante et le NGD est négligeable. Cependant, à mesure que l’effet de levier augmente, le NGD devient plus grand et finit par submerger l’avantage du pari.

Représentées graphiquement dans la “courbe de Kelly” ci-dessous, ces figures créent la courbe de Kelly familière (bleue). Le profit (rouge) est la somme de l’augmentation de l’effet de levier et de la résistance géométrique négative (gris).

La ligne verticale verte indique où les deux forces de compensation se compensent parfaitement (bord marginal = NGD marginal). Il s’agit du point de profit maximum (taille de la mise = 0,25), et tout effet de levier supplémentaire entraînerait un profit inférieur.

En d’autres termes, dans des résultats 50/50, l’utilisation de cette taille de pari (0,25 de la valeur nette) maximiserait la richesse du taux de croissance géométrique au fil du temps.

courbe de Kelly

Mettre Kelly au travail

Le critère de Kelly formalise cette logique en une formule unique. Il accepte les probabilités et les paiements connus comme entrées et renvoie la proportion de la richesse totale à parier sur une croissance maximale.

Math_Kelly_1

L’exemple ci-dessus définirait b = 2, p = 0,5 et q = 0,5. La taille de la mise se résout à 0,25, exactement la même valeur que le tableau d’essais et d’erreurs ci-dessus.

Qu’en est-il d’un investissement initial ou d’une ICO qui a 15 % de chances de succès mais une récompense de 30 fois ? Une question comme celle-ci est difficile à résoudre intuitivement, mais le critère de Kelly conseille un investissement de 12% du capital total.

Pour en revenir au compteur de cartes de l’introduction, b = 1 p = 0,52 q = 0,48.

Math_Kelly_2

Le joueur doit miser 4% de sa bankroll, exactement comme prévu. Mais comment ces principes sont-ils maintenus dans le monde réel ? Un coup d’oeil Ethereum Le trading (ETH) peut aider à répondre à cette question.

Kelly sur Crypto

Ethereum trading offre une excellente application réelle de Kelly. Une stratégie ETH de tendance longue / volatilité particulière a les rendements suivants de 2016 à aujourd’hui, où l’axe Y est le rendement annualisé et l’axe X est l’effet de levier.

La stratégie de volatilité longue a un rendement maximum (optimal de Kelly) de 644 % par an contre 225 % pour détenir des ETH longs (de 2016 à aujourd’hui).

Cette performance optimale a utilisé un effet de levier de 1,7x. L’effet de levier 1x, 2x et 4x aurait rapporté + 418%, + 602% et -99% (perte totale) par an. En utilisant trop ou trop peu de levier, le trader peut facilement rater une opportunité ou même tout perdre.

Le pari optimal de Kelly est une ligne fine basée sur une solide compréhension des cotes et des rendements.

Kelly ≠ Objectif

Kelly = Limite

Le critère de Kelly définit uniquement le “meilleur” pari pour maximiser les performances. Il ne prend pas de précautions ni n’attribue de valeur au risque.

Kelly représente la limite de l’éventail des investissements rationnels. C’est simplement le plus gros pari qui pourrait encore être rationnel en supposant qu’aucune valeur n’est attribuée au risque.

Parier même un centime de plus que Kelly augmenterait le risque, augmenterait la variance et diminuerait les gains.

Cependant, la taille de la mise n’importe où près du montant optimal de Kelly est irrationnelle par rapport à la plupart des normes.

Au fur et à mesure que la taille du pari approche du sweet spot Kelly, le rapport entre le risque supplémentaire et le profit supplémentaire atteint l’infini. En fin de compte, l’investisseur devrait risquer 1 milliard de dollars supplémentaires pour obtenir un centime de plus des bénéfices attendus.

La plupart des gens attribuent une valeur négative au risque. C’est pourquoi nous versons une prime aux compagnies d’assurance pour éliminer les risques excédentaires.

En conséquence, les traders professionnels utilisent un effet de levier qui se situe au milieu de la courbe de Kelly.

Kelly n’est pas le but, mais la limite. La stratégie ETH avait un effet de levier optimal Kelly de 1,7x, générant un rendement annualisé de 644 %. Mais un effet de levier de seulement 1,3x a généré un bénéfice annuel de 520% ​​avec seulement la moitié de la variance.

Le ratio de Sharpe (rendement / variance) s’améliore également avec des fractions de Kelly plus faibles. En fait, l’effet de levier plus modeste de 1,3x améliore le Sharpe de la stratégie ETH de 1,90 à 3,04. En règle générale, de nombreux commerçants utilisent « demi-Kelly », qui offre 75 % du profit maximum avec seulement 25 % de la variance. Il s’agit d’un rendement ajusté du risque 3 fois meilleur.

Comme Ed Seykota, un pionnier du trading de systèmes, l’a dit un jour : « Il y a de vieux traders et des traders audacieux. Il y a très peu de commerçants vétérans et audacieux. »

Le critère de Kelly est un excellent outil pour évaluer la forme qualitative du risque par rapport à la récompense et comprendre les limites du pari rationnel. Bien qu’il n’attribue pas de valeur au risque, des heuristiques simples comme « mean Kelly » sont suffisantes pour une application dans le monde réel.

Kelly à l'ETH

Nicholas Yoder, gestionnaire de fonds spéculatifs et ancien pompier, a étudié les mathématiques et l’apprentissage automatique à l’Université Carnegie Mellon. @ nickyoder86.

Publié à l’origine dans le magazine Luckbox. Inscrivez-vous gratuitement sur getluckbox.com/dailyfx





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